Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

 АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

Учебник для

общеобразовательных

учреждений. Базовый и

профильный уровень

§21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Работу выполнила: Мусина В.А. студентка группы 45.3

         Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.


Задача 1
. Решите систему уравнений

 

 Из первого уравнения находим    и подставляем во второе.        

Получаем   

Отсюда

     

           Замечание.  Если бы для нахождения значения y мы не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком «+» и знаком «–», то вместе с верными решениями получили бы и посторонние решения заданной  системы.

Действительно, в таком случае имеем 

Тогда, например, при n = 0 получаем 

Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:  

                                               

Но эти пары значений х и у не являются решениями  заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению.    

 Поэтому следует запомнить:

            Когда решение уравнения cos x = а приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком «+» и отдельно со  знаком «–».

 

            Задача 2. Решите систему уравнений

            

  Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильну систему

  

 Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–»:

            

 Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим x и y:

         Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и k, которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a), при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.

 

Вопросы для контроля

  1.  Какие методы используются для решения систем тригонометрических уравнений?
  2. Объясните, в каком случае при формальном решении системы уравнений   мы можем потерять часть решений, а в каком случае —получить посторонние решения. Решите эту систему.

 

Упражнения

        Решите систему уравнений (1–8).