Обобщенный метод интервалов

Одним из самых распространенных способов решения неравенств, левая часть которых представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой, представляют произведение некоторых функций, а правая – равна нулю является метод интервалов.

Суть метода интервалов заключается в следующем:

  • С помощью равносильных преобразований приводим неравенство к виду

f(x)*0   

где * - один из знаков: >, <, >=, <=.

Комментарий: Выражение  f(x)  рассматриваем как некоторую функцию и тогда неравенство сводится к нахождению промежутков знакопостоянства и нулей функции.

  • Находим нули функции, то есть решения уравнения f(x)=0.

Комментарий: Довольно часто, возникает ситуация, когда решение уравнения f(x)=0 найти существенно проще, чем найти решение неравенства с использованием систем совокупности. В этом случае и удобен обобщенный метод интервалов!

  • Находим область допустимых значений неравенства, то есть область определения функции f(x).

Область определения функции представляет собой объединение промежутков и одноточечных множеств (изолированные точки).

  • На числовую прямую наносим область определения и нули функции f(x), причем в случае строгого знака неравенства нули выкалываем.

Достаточно удобно использовать следующую технику нанесения значений на числовую прямую:

  • Значения из области определения изображаем под числовой прямой соответствующими точками, заштриховав промежутки, удовлетворяющие полученным условиям.

Например, если областью определения некоторого неравенства является следующее объединение промежутков: 

то на числовой прямой изображаем его следующим образом, как показано на рисунке 

  • Нули функции изображаем над числовой прямой, как показано на рисунке

В конечном итоге нанесенные значения на числовую прямую будут выглядеть, как показано на рисунке

  • Нанесенные точки разбивают числовую прямую на лучи и интервалы. Для каждого луча или интервала определяем знак, выбирая внутри каждого точку, наиболее удобную для определения знака на данном промежутке. При этом основной целью на данном шаге является не вычисление значения неравенства в этой точке, а всего лишь определение знака.
  • В соответствии с заданным знаком неравенства, записываем ответ. Причем, если неравенство имеет знак больше либо равно или строго больше, то в ответ записываем объединение промежутков со знаком «+», если неравенство имеет знак меньше либо равно или меньше, то в ответ записываем объединение промежутков со знаком «–». При выполнение данного шага важно помнить, что в ответ записываются интервалы с выколотыми концами и все не выколотые отмеченные точки.
  • Как было уже сказано выше, основным преимуществом обобщенного метода интервалов является сведение неравенства к решению уравнения  f(x)=0.

    Простейшую модификацию метода интервалов иллюстрирует следующий пример.