§ 1. Производная |
п. 1. Основные понятия |
Пусть дана функция y = f(x). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное х0 и новое х. Разности Dх = х-х0 и D y = f(x)-f(x0) = y-y0 называются соответственно приращением аргумента и приращением функции в точке х0. Очевидно, что х = х0+Dх, у = у0+Dу, Dу = f(x0+Dx)-f(x0). В дальнейшем будем считать значение х0 фиксированным, а х – переменным. При этом Dх и Dу являются переменными величинами. Производной функции у = f(x) в точке х0 называется если этот предел существует. Производная обозначается у'(x0) или f'(x0). Таким образом, . Пусть Х = {х}-множество всех таких х, для которых существует y'(х). Очевидно, что (х) является функцией, определенной на множестве Х. Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Функция, имеющая производную в точке х0, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала (a, b), называется дифференцируемой на интервале (a, b). Из курса средней школы известен геометрический смысл производной. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, тогда угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в точке (х0, f(х0)) равен у'(х0). Из курса средней школы известен также физический смысл производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t – время, S – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость точки в момент времени t равна: V = S'(t). Теорема (о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Пусть аргумент х получает в точке х0 приращение Dх ¹ 0. Ему соответствует некоторое приращение функции Dу. Вычислим предел: а это и означает непрерывность функции в точке х0. Заметим, что обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не дифференцируемы. Примерами могут служить функции у = çх çи в точке х = 0. В обоих случаях (0) не существует. Заметим, что график у = çх çв точке х = 0 не имеет касательной, а график в точке х=0 имеет вертикальную касательную – ось Оу. |
п. 2. Вычисление производной |
Формулы вычисления производной некоторых элементарных функций получены в курсе средней школы: 1. С' = 0, где С – константа. 2. (хn) ' = n×xn-1, где n – натуральное число 3. (ax)'= axlna, где а>0, a ¹ 1. В частности, (ех)' = ех 4. , где а>0, a ¹ 1. В частности, 5. (sinx)' = cosx 6. (cosx)' = -sinx В курсе средней школы установлены основные правила дифференцирования. Пусть u = u(x) и v = v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы функции u+v, u×v, . Последнее при условии, что v(x) ¹ 0. Причем (u+v)' = u'+v' (u×v)' = u'v+uv' Следствием последних трех соотношений являются следующие два: (сu)' = cu', где с – константа, и (u-v)' = u'-v' Используя правило нахождения производной частного, легко получаются формулы: и , которые выполняются для любого х, при котором существует tgx и cosx ¹ 0 или существует ctgx и sinx¹0. |
п. 3. Производная обратной функции |
Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), не равную нулю. Тогда в соответствующей точке х обратная функция у = f--1(x) имеет производную [f--1(x)]', причем или Доказательство. По условию теоремы функция x = f(y) монотонна и дифференцируема, следовательно, по теореме о существовании обратной функции функция у = f--1(x) существует, монотонна и непрерывна на соответствующем интервале. Дадим аргументу х приращение Δх¹0. Тогда функция у = f--1(x) получит приращение Δу, которое в силу ее монотонности отлично от нуля. Так как функция у = f--1(x) непрерывна, то Δу®0 при Δх®0. Тогда . Пользуясь доказанной теоремой, вычислим производные обратных тригонометрических функций. Для функции у = arcsinx обратной является функция x = siny, которая является в интервале монотонной и дифференцируемой. Ее производная x' = cosy в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому . Таким образом . Аналогично получаются формулы |
п. 4. Производная сложной функции |
Пусть y = f(u) и u = g(x). Тогда функция y = f(g(x)) называется сложной функцией от х. Теорема 1. Если функция u=g(x) имеет производную u'x в точке х, а функция y = f(u) имеет производную у'u в соответствующей точке u, то сложная функция y = f(g(x)) в точке х имеет производную у'x, причем у'x = у'u× u'x. Доказательство. Дадим х приращение Δх. Тогда u и у получат соответственно приращения Δu и Δу. Будем считать, что Δu при Δх®0 не принимает значений, равных нулю. Тогда . Так как функция u = g(x) дифференцируема, а следовательно, непрерывна, то Δu®0 при Δх®0. Поэтому . Тогда . Это означает, что у'x = у'u× u'x. Заметим, что теорема верна и в случае, когда при Δх®0 Δu принимает значения, равные нулю. Примеры. Найти производную функции. 1. у = lnarctgx . 2. y = cos3(x2) y' = 3cos2(x2)(-sin(x2))2x = -6xsin(x2)cos2(x2) 3. . |
п. 5. Производные гиперболических функций |
||||||||||||||||||
, поэтому Аналогично: (chx)' = shx. Аналогично: |
||||||||||||||||||
п. 6. Производная степенной функции с любым действительным показателем |
||||||||||||||||||
Известно, что (xn)' = nxn-1 для натурального n. Пусть теперь n любое действительное число и х>0. Справедливо тождество xn = enlnx. Тогда у = enlnx – сложная функция и ее производная вычисляется следующим образом: y' = (enlnx)' = enlnx(nlnx)' = enlnx = xn = nxn-1. Итак, при любом действительном n и х>0 верна формула (xn)' = nxn-1. Можно показать, что эта формула справедлива и при х<0, если при этом функция y = xn определена. |
||||||||||||||||||
п. 7. Таблица формул дифференцирования |
||||||||||||||||||
В таблице приняты обозначения: с, n – любые действительные числа; а – любое положительное действительное число, кроме единицы. u= u(x) – функция, дифференцируемая в точке х, y = f (u) – функция, дифференцируемая в соответствующей точке u. Таблица составлена на основании формул дифференцирования основных элементарных функций и теоремы о производной сложной функции.
|
п. 8. Производные высших порядков |
Предположим, что функция y = f(x) дифференцируема в некотором интервале (а, в). Тогда ее производная f'(x) в этом интервале является функцией х. Пусть эта функция также имеет производную в (а, в). Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции y = f(x)и обозначается y'' или f''(x). Таким образом, f''(x) = (f'(x)) '. При этом f'(x) называется первой производной или производной первого порядка функции f(x). Аналогично определяются производные третьего, четвертого и так далее порядков. Вообще, производной n –го порядка функции y = f(x) в точке х называется первая производная производной (n-1)-го порядка функции y = f(x) при условии, что в точке х существуют все производные от первого до n –го порядков. Обозначение: y(n) или f(n)(x). Таким образом, f(n)(x) = ( f(n-1)(x)) '. Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Примеры. 1. Найти у''' для функции y = cos2x. y' = 2cosx(-sinx) = -sin2x y'' = -2cos2x y''' = 4sin2x 2. Найти y(n) для функции y = e3x, y' = 3e3x, y'' = 32e3x, y''' = 33e3x,…, y(n) = 3ne3x Механический смысл второй производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t-время, f(t) – путь, пройденный за время t. Из физики известно, что при этом ускорение точки в момент времени t равно производной скорости по t. Таким образом, ускорение w(t) = v'(t) = S''(t) равно второй производной пути по времени. |
п. 9. Дифференцирование функций, заданных параметрически |
Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями: x = x(t), y = y(t), tÎ(a;b). Предположим, что функции x(t), y(t), имеют производные на (a;b) и функция x(t) имеет обратную функцию t = g(х), которая также имеет производную в соответствующих точках х. Тогда определенную параметрическими уравнениями функцию у от х можно рассматривать как сложную функцию y = y(t), t = g(х), t – промежуточный аргумент. По правилу дифференцирования сложной функции получаем y'x = y't t'x = y't g'x. По теореме о дифференцировании обратной функции g'x = . Учитывая это, получаем y'x =. Если существует у''х, то рассуждая аналогично, получаем Вообще, при условии, что все производные существуют. Пример. x = cos3t, y=sin3t. Вычислить у''х. x't = – 3cos2t sint, y't=3sin2tcost, поэтому . Тогда . |
п. 10. Дифференцирование функций, заданных неявно |
Пусть значения переменных х и у связаны уравнением F(x, y) = 0. (1) Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию y = f(x) неявно или что функция y = f(x) есть неявная функция. Укажем правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, то есть не представляя в виде y = f(x), так как часто это преобразование бывает технически сложным или невозможным. Для нахождения производной у'х неявной функции, нужно продифференцировать по х обе части равенства (1), учитывая, что у есть функция от х. Затем из полученного равенства выразить у'х. Пример 1. Вычислить у'х. У5+ху-х2 = 0 Продифференцируем обе части по х. Получим 5у4у'+у+ху'-2х=0. Выразим у'. y'(5у4+х) = 2х-у, у' = (2х-у)/(5у4+х). Пример 2. tg(x+y) = xy Продифференцируем обе части по х. Получим или . Отсюда или . Окончательно . Заметим, что производная неявной функции выражается через х и у, то есть получается равенство y' = g(x, y) (2) Для вычисления второй производной неявной функции, нужно продифференцировать обе части равенства (2) по х и затем подставить выражение g(x, y) вместо y'. Аналогично можно вычислить производные любого порядка неявной функции. Пример. х2+у2-1=0. Найти у''. Продифференцируем обе части данного равенства по х, получим 2х+2уу' = 0, откуда у' = -. Продифференцируем обе части последнего равенства по х, получим или . Подставим , вместо у'. . |
п. 11. Логарифмическое дифференцирование |
Функция вида y = [u(x)]v(x) называется степенно – показательной. Для вычисления ее производной (при условии, что у' существует), нужно прологарифмировать функцию по любому основанию (обычно по основанию е). Затем нужно вычислить производную полученной неявной функции. Пример. Найти производную функции y = (sinx)x Логарифмируем функцию по основанию е:lny = x lnsinx. Дифференцируем обе части равенства по х, получаем , отсюда или . Рассмотренный прием называется логарифмическим дифференцированием. Он применяется не только для вычисления производных степенно-показательных функций, но и в случаях, когда аналитическое выражение функции содержит несколько множителей. Пример. Найти производную функции . Логарифмируя, получаем . Дифференцируем обе части полученного равенства: , отсюда или . |