История тригонометрических функций

Самой первой тригонометрической функцией была хорда, соответствующая данной дуге. Для этой функции были построены первые тригонометрические таблицы (II в. до н. э.), нужные для астрономии.
Впервые в истории науки в период V-XII веков индийские математики и астрономы вместо полной хорды стали рассматривать половину хорды, которая соответствует современному понятию синуса. Величину половины хорды они назвали “архиджива”, что означало “половина тетивы лука”. Кроме sin x, индийцы рассматривали также величину 1 – cos x, которую они называли “комаджива”, и величину cos x – “котиджива”.
Понятие таких тригонометрических функций, как тангенс, котангенс, секанс и косеканс, определил совершенно строго, исходя из рассмотрения тригонометрического круга, иранский математик Абу-ль-Вефа. Современные названия этих функций были даны в период с XV по XVII век европейскими учеными. Так, термин “тангенс” с латинского “касательная” был введен в XV веке основателем тригонометрии в Европе Региомонтаном. В XVI веке Финк вводит термин “секанс”. В XVII веке помощник изобретателя десятичных логарифмов Бриггса ученый Гюнтер вводит название “косинус” и “котангенс”, причем приставка “ко” (co) обозначает дополнение (complementum).
Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin x и cos x были впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербургскому математику Л. Эйлеру. Последний пришел к выводу, что эти обозначения весьма удобны, и стал употреблять их в своих математических работах. Кроме того, Эйлер вводит следующие сокращенные обозначения тригонометрических функций угла x: tang x, cot x, sec x, cosec x. Далее Эйлер установил связь тригонометрических функций с показательными и дал правило для определения знаков функций в различных четвертях круга. Эйлер установил современную точку зрения на тригонометрические как функции числового аргумента.
В1770 г. появилось и удерживается до наших дней название Тригонометрические функции. Его ввел Г. С. Клюгель в работе “Аналитическая тригонометрия”.

 Определение и графики тригонометрических функций

Величины углов (аргументы функций): α, x  Тригонометрические функции: sinα, cosα, tanα, cotα, secα, cscα Множество действительных чисел: R  Координаты точки окружности: x, y

Радиус круга: r  Целые числа: k

1. Тригонометрические функциипредставляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.
2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус, косинус, тангенс,котангенс, секанси косеканс. Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.
3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OMи положительным направлением оси Ox равен α.

   Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r: 
   sinα=y/r. 
   Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).

   Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r: 
   cosα=x/r 

   Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x: 
   tanα=y/x,x≠0 

   Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y: 
   cotα=x/y,y≠0 

   Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y): 
   secα=r/x=1/x,x≠0 

   Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y): 
   cscα=r/y=1/y,y≠0 

   В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом: 
   Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. 
   Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. 
   Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему. 
   Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему. 
   Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету. 
   Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету. 

   График функции синус 
   y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1 

   График функции косинус 
   y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1

4.