Проценты
Сотую часть центнера называют килограммом, сотую часть метра — сантиметром, сотую часть гектара — аром или соткой. Принято называть сотую часть любой величины или числа процёнтом. Значит, 1 кг — один процент центнера, 1 см — один процент метра, 1 а — один процент гектара, 0,02 — один процент от 2.
Проце́нтом называют одну сотую часть.
Для краткости слово «процент» после числа заменяют знаком %.
Предложение «В поход ушли 1,5% учащихся нашей школы» читают так: «В поход ушли полтора процента учащихся нашей школы», а предложение «В этом месяце заработная плата выросла на 8%» читают так: «В этом месяце заработная плата выросла на восемь процентов».
Так как 1% равен сотой части величины, то вся величина равна 100%.
Задача 1. Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?
Р е ш е н и е. Так как 1200 костюмов — это 100% выпуска, то, чтобы найти 1% выпуска, надо 1200 разделить на 100. Получим, что 1200 : 100 = 12, значит 1% выпуска равен 12 костюмам. Чтобы найти, чему равны 32% выпуска, надо умножить 12 на 32. Так как 12 : 32 = 384, то фабрика выпустила 384 костюма нового фасона.
Задача 2. За контрольную работу по математике отметку «5» получили 12 пятиклассников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе?
Р е ш е н и е. Сначала узнаем, чему равен 1 % всех учеников. Для этого разделим 12 на 30.
Так как 12 : 30 = 0,4 , то 1 % равен 0,4. Чтобы узнать, чему равны 100% учащихся, надо умножить 0,4 на 100. Так как 0,4 : 100 = 40, то в классе 40 учеников.
Задача 3. Из 1800 га поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажен картофелем?
Р е ш е н и е. Картофелем засажено всего поля. Обратим дробь в десятичную. Для этого разделим 558 на 1800. Получаем 0,31. Значит, картофелем засажена 31 сотая всего поля. Каждая сотая равна 1% поля, поэтому картофелем засажен 31% всего поля.
Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо её умножить на 100. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.
Например, 0,971 = 0,971 • 100% = 97,1%: 39% = 39 : 100 = 0,39.
Угол. Прямой и развёрнутый угол. Чертёжный треугольник
Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки (рис. 160).
Лучи, образующие угол, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, — вершиной угла.
На рисунке 160 сторонами угла являются лучи ОА и ОВ, а его вершиной — точка О. Этот угол обозначают так: АОВ.
При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначить и одной буквой — названием его вершины. Например, вместо «угол АОВ» пишут короче: «угол О». Вместо слова «угол» пишут знак ∠.
Например, ∠АОВ, ∠О.
На рисунке 161 точки С и D лежат внутри угла АОВ, точки X и Y лежат вне этого угла, а точки М и Н — на сторонах угла.
Как и все геометрические фигуры, углы сравниваются с помощью наложения.
Если один угол можно наложить на другой так, что они совпадут, то эти углы равны.
Например, на рисунке 162 ∠ABC = ∠MNK.
Из вершины угла СОК (рис. 163) проведён луч ОР. Он разбивает угол СОК на два угла — СОР и РОК. Каждый из этих углов меньше угла СОК.
Пишут: ∠COP < ∠COK и ∠POK < ∠COK.
Два дополнительных друг другу луча образуют развёрнутый угол. Стороны этого угла вместе составляют прямую линию, на которой лежит вершина развёрнутого угла (рис. 164). Часовая и минутная стрелки часов образуют в 6 ч развёрнутый угол (рис. 165).
Согнём два раза пополам лист бумаги, а потом развернём его (рис. 166). Линии сгиба образуют 4 равных угла. Каждый из этих углов равен половине развёрнутого угла. Такие углы называют прямыми.
Прямым углом называют половину развёрнутого угла.
Для построения прямого угла пользуются чертёжным треугольником (рис. 167). Чтобы построить прямой угол, одной из сторон которого является луч ОА, надо:
а) расположить чертёжный треугольник так, чтобы вершина его прямого угла совпала с точкой О, а одна из сторон пошла по лучу ОА\
б) провести вдоль второй стороны треугольника луч ОВ.
В результате получим прямой угол АОВ.
Измерение углов. Транспортир
Для измерения углов применяют транспортир (рис. 174).
Шкала транспортира располагается на полуокружности. Центр этой полуокружности отмечен на транспортире чёрточкой.
Штрихи шкалы транспортира делят полуокружность на 180 долей.
Лучи, проведённые из центра полуокружности через эти штрихи, образуют 180 углов, каждый из которых равен доле развёрнутого угла.
Такие углы называют градусами.
Градусом называют долю развёрнутого угла.
Градусы обозначают знаком °. Каждое деление шкалы транспортира равно 1°. Кроме делений по 1°, на транспортире есть ещё деления по 5° и по 10°.
Вершина О угла АОВ на рисунке 174 находится в центре полуокружности; луч ОА проходит через нулевую отметку (начало отсчёта), а луч ОВ проходит через отметку 110. Поэтому угол АОВ равен 110°.
Пишут: ∠АОВ = 110°.
Так как прямой угол составляет половину развёрнутого угла, то он содержит 180 : 2, то есть 90°. Прямой угол равен 90°.
Равные углы имеют равные градусные меры, больший угол имеет большую градусную меру, меньший угол имеет меньшую градусную меру.
Транспортир применяют и для построения углов.
Пример. Построим угол 50°, одной стороной которого служит луч ОВ.
Р е ш е н и е. Наложим транспортир так, чтобы центр полуокружности совпал с точкой О — началом луча ОВ, а луч ОВ пошёл через начало отсчёта (рис. 175).
Поставим точку А против штриха с отметкой 50 и проведём луч ОА. Получаем угол АОВ, содержащий 50°.
Такой же угол можно построить по другую сторону от луча ОВ (рис. 176).
Если угол меньше 90°, то его называют острым углом.
Если угол больше 90°, но меньше 180°, то его называют тупым углом.
На рисунке 177 угол АОС острый, а угол АОВ тупой.
Круговые диаграммы
Магнитный железняк содержит 70% чистого железа, а остальная часть руды — пустая порода. Чтобы наглядно изобразить это положение, начертим круг и закрасим 70% его площади, а 30% площади оставим незакрашенными.
Так как в круге 180 + 180 , то есть 360 , то надо найти 30% от 360°. Для этого делим 360 на 100 и частное умножаем на 30. Получаем: 360 : 100-30= 108. Значит, надо провести два радиуса под углом 108° и закрасить часть круга вне этого угла. Получаем рисунок 184. Его называют круговой диаграммой.
Иногда для построения круговой диаграммы приходится разбивать круг на много частей. Составим круговую диаграмму площадей океанов. Тихий океан имеет площадь около 151 млн км2, Атлантический — около 92 млн км2, Индийский — 56 млн км2, Северный Ледовитый — около 15 млн км2 и Южный — 86 млн км2.
Так как 151 + 92 + 56 + 15 + 86 = 400, то 1 млн км2 изображается на диаграмме девятью десятыми градуса. Значит, в круге проводим радиусы ОА, ОВ, ОС, OD и ОЕ так, чтобы ∠AOB = 136°, ∠BOC = 83°, ∠COD = 50°, ∠DOE= 14°, ∠EOA = 77° (градусную меру углов округлили до целых).