П. 7 Вычитание натуральных чисел и их свойства

Вычитание натуральных чисел

Мы можем не только собирать в группы различные предметы, то есть, складывать их, но и забирать из существующей группы определенное их количество.

Например, в кошельке было 1850 рублей. В магазине было потрачено 780 рублей. Чтобы узнать, сколько осталось денег, можно вытащить кошелек и пересчитать их. Но можно поступить по-другому: из той суммы, которая была в кошельке, отнять ту сумму, что была потрачена в магазине. Разница этих чисел, то есть, на сколько единиц изначальная сумма денег больше той суммы, которую потратили, и будет остатком денег.

Компоненты вычитания:

Про действие вычитание также говорят, что нужно из одного числа вычесть другое, или одно число уменьшить на другое.

Совершая вычитание натуральных чисел, вы должны помнить, что из одного натурального числа можно вычесть только равное ему или меньшее натуральное число. Действительно, мы никак не можем отобрать единиц предметов больше, чем их есть в наличии.

Поэтому, уменьшаемое натуральное число всегда больше или равное вычитаемому. Другими словами, мы всегда вычитаем из большего меньшее или из равного равное.

Связь вычитания и сложения

Действие вычитание непосредственно связано с действием сложение.

Действительно, когда мы ищем сумму, мы складываем все единицы, из которых состоят числа, вместе. То есть, получаем число, которое складывается из разных чисел.

А когда мы ищем разность, мы из одного числа (уменьшаемое) отнимаем некоторое количество единиц (вычитаемое), которые входят в его состав, и получаем другое количество единиц. То есть, получаем число (разность), которое также составляло уменьшаемое, пока от него не отняли вычитаемое. Поэтому разность и имеет второе название – остаток – то, что осталось от числа, после вычитания его части.

Из этого мы можем сделать вывод, что, если сложить обратно обе части одного числа (разность и вычитаемое), то мы получим уменьшаемое.

Уменьшаемое – это сумма вычитаемого и разности. То есть, разность и вычитаемое – это слагаемые.

Когда мы складываем числа, слагаемые нам известны, и нужно вычислить их сумму. А когда мы вычитаем, нам даются сумма (уменьшаемое) и одно из слагаемых (вычитаемое) этой суммы, а второе слагаемое (разность) нам нужно вычислить.

Рассмотрим это на примере. Мы нашли разность 8-5=3. Это означает, что мы разложили одно данное нам число 8 на два: 5 (данное нам уменьшаемое) и 3 (найденная нами разность). Но мы знаем, что состав числа – это слагаемые, которые в сумме дают нам это самое число. Поэтому, найденную нами разность чисел мы можем превратить в сумму чисел, сложив остаток с вычитаемым: 3+5=8.

Свойства разности натуральных

чисел

Свойства разности натуральных чисел состоят из:

• Правила вычитания суммы из числа и числа из суммы;
• Зависимость разности от изменения уменьшаемого или вычитаемого.
• Правило вычитания разности из числа;

Рассмотрим каждый пункт подробнее.

Правила вычитания суммы из числа и числа из суммы

Как вычесть сумму из числа

Действительно, так как сумма – это объединение всех слагаемых, то очевидно, что, отнимая последовательно каждое слагаемое, каждое ее составляющее число, мы в конце концов отнимем всю сумму.

Рассмотрим это на примере из урока сложение чисел.

325+(12+64+5) = 325+81 = 406

Я запишу это в виде разности:

406-(12+64+5) = 325

и покажу, что результат будет равен первому слагаемому:

406—12 = 394;
394-64 = 330;
330-5 = 325.

Как видите, все верно.

Как вычесть число из суммы

Действительно, вы знаете, что, если уменьшить одно из слагаемых на какое-то число, то и сумма уменьшится на это же самое число. Следовательно, если нам нужно сумму чисел уменьшить на какое-то число, то для этого достаточно уменьшить на это число одно из слагаемых суммы.

Для рассмотрения я возьму тот же пример, только сумму расчленю на слагаемые, а слагаемое в скобках заменю суммой:

325+81 = (191+65+150)

Превращаю выражение в разность:

(191+65+150)-81 = 325

и покажу, что результат также будет равен первому слагаемому:

191-81 = 110;
110+65 = 175;
175+150 = 325
или
150-81 = 69;
69+191 = 260;
260+65 = 325.

Я недаром написал в правиле, что нужно отнимать от подходящего слагаемого суммы, потому что, если оно будет меньше вычитаемого, то оно нам не подходит. Так, в нашем примере 65<81.

Отсюда следует, что это правило применимо не к любой сумме натуральных чисел, а только к той, в которой хотя бы одно из слагаемых больше, чем вычитаемое.

Как меняется разность при изменении вычитаемого или уменьшаемого

Изменение разности при изменении вычитаемого и уменьшаемого является следствием описанных в уроке изменений суммы чисел с изменением ее слагаемых.

Правила вычитания разности

Это свойство выводится из предыдущих, рассмотренных нами.

Рассмотрим на примере 22-(17—3).

Для начала вычислим обычным способом: сперва узнаем разность в скобках (это будет 17-3=14), а потом вычтем 14 из 22. Получится 22-14=8.

22-(17—3) = 8

Теперь вернемся к исходному примеру и отнимем от 22 не разность 17-3, то есть, не 17 без 3 единиц, а все число 17.

22—17 = 5

Но мы ведь отняли больше, чем нужно было, поэтому нам нужно вернуть лишне взятые 3 единицы обратно, а именно, прибавить их к полученному результату.

5+3 = 8

Попробуем решить другим путем: увеличим и уменьшаемое (данное число), и вычитаемое (разность в скобках) на одно и то же число 3. Получим:

22+3-(17+3-3)

Так как 22+3=25, а 3-3=0, то в итоге получается:

25-17+0 = 8

Как видите, оба способа показали верный результат.