10.4. СХЕМА ГОРНЕРА

Делить многочлен f (x) на двучлен (х – а) иногда удобно с помощью специальной схемы, которую называют схемой Горнера.

  • Пусть многочлен f (x) = а0хn + а1хn– 1 + ... + аn – 1 х + аn (a0 ≠ 0) необходимо разделить на двучлен (х – а). В результате деления многочлена n-й степени на многочлен первой степени получим некоторый многочлен Q (x) (n – 1)-й степени (то есть Q (x) = b0x n – 1 + b1x n – 2 + ... + bn – 2 x + b n – 1, где b0 ≠ 0) и остаток R. Тогда f (x) = (х – а)*Q (x) + R, то есть а0хn + а1хn – 1 + ... + аn – 1 х + аn = = (х – а)*(b0xn – 1 + b1xn – 2 + ... + bn – 2 x + bn – 1) + R. Левая и правая части полученного равенства тождественно равны, поэтому, перемножив многочлены, стоящие в правой части, можем приравнять коэффициенты при соответствующих степенях х:

    Xn

    а0 = b0

    Xn-1

    а1 = b1 – аb0

    Xn-2

    а2 = b2 – аb1

    . . . . . .

    . . . . . . . . . . . .

    X1

    аn – 1 = bn – 1 – аbn – 2

    X0

    аn = R – аbn – 1

    Найдем из этих равенств коэффициенты b0, b1, ..., bn – 1 и остаток R: b0 = а0, b1 = ab0 + a1, b2 = ab1 + a2, …, bn – 1 = abn – 2 + an – 1, R = abn – 1 + an.

    Как видим, первый коэффициент неполного частного равен первому коэффициенту делимого. Остальные коэффициенты неполного частного и остаток находятся одинаково: для того чтобы найти коэффициент bk + 1 неполного частного, достаточно предыдущий найденный коэффициент bk умножить на а и добавить k-й коэффициент делимого. Эту процедуру целесобразно оформлять в виде специальной схемы-таблицы, которую называют схемой Горнера.

Пример 1. Разделите по схеме Горнера многочлен f (х) = 3х4 – 2х3 – 4х + 1 на двучлен х – 2.
Запишем сначала все коэффициенты многочлена f (х) (если в данном многочлене пропущена степень 2, то соответствующий коэффициент считаем равным 0), а потом найдем коэффициенты неполного частного и остаток по указанной схеме:

Таким образом, 3х4 – 2х3 – 4х +1 = (х – 2)(3х3 + 4х2 + 8х + 12) + 25.

Пример 2. Проверьте, является ли х = –3 корнем многочлена f (х) = 2х4 + 6х3 + 4х2 – 2х – 42.

  • По теореме Безу остаток от деления многочлена f (х) на х – а равен f (а), поэтому найдем с помощью схемы Горнера остаток от деления f (х) на х – (–3) = х + 3

Поскольку f (–3) = 0, то х = –3 — корень многочлена f (х).

Упражнения

  1. Используя схему Горнера, найдите неполное частное и остаток от деления многочлена А (х) на двучлен В (х):

1) А (х) = х3 + 3х2 + 3х + 1; В (х) = х + 1;

2) А (х) = 5х3 – 26х2 + 25х – 4; В (х) = х – 5;

3) А (х) = х4 – 15х2 + 10х + 24; В (х) = х + 3.

  1. Используя схему Горнера, проверьте, делится ли многочлен f (x) на двучлен q (x):

1) f (х) = 4х3 – х2 – 27х – 18; q (x) = x + 2;

2) f (х) = х4 – 8х3 + 15х2 + 4х – 20; q (x) = x – 2.

  1. Разделите многочлен А (х) на двучлен В (х):

1) А (х) = 2х3 – 19х2 + 32х + 21; В (х) = х – 7;

2) А (х) = 4х3 – 24х2 + 21х – 5; В (х) = 2х – 1.