§ 13. Свойства тригонометрических функций

Объяснение и обоснование

1. Знаки тригонометрических функций легко определить, исходя из опреде - 

ления этих функций.

  Например, — это ордината соответствующей точки  единичной

окружности. Поэтому значение   будет положительным, если точка 

имеет положительную ординату, a это будет тогда, когда точка   находит-

ся в I или II четверти (рис. 67). . Если точка   находится в III или IV чет -

верти, то ее ордината отрицательна, и поэтому  тоже отрицателен.

Аналогично, учитывая, что  — это абсцисса соответствующей точки ,

получаем, что >0  в I и IV четвертях (абсцисса точки   положительна)

и <0  во II и III четвертях (абсцисса точки   отрицательна) (рис. 68).

Поскольку  там, где

 и   имеют одинаковые знаки, то есть в I и III четвертях,

и  там, где  и  имеют разные знаки, то есть во II и IV чет -

вертях (рис. 69).

2. Четность и нечетность тригонометрических функций.

 Чтобы исследовать тригонометрические функции на четность и нечет -

ность, заметим, что на единичной окружности точки  и расположе-

ны симметрично относительно оси Ox (рис. 70). Следовательно, эти точки

имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты.

Тогда 

Таким образом,  — четная функция, а — нечетная.

Поэтому — нечетные функции. 

Замечание. Приведенное исследование четности и нечетности функ -

ций   и   неявно опирается на утверждение, что точки   и 

будут расположены симметрично относительно оси Ох при любом значе -

нии  Приведем план возможного обоснования этого утверждения. 

1)   Если  или  то утверждение очевидно в силу сим -

метрии единичной окружности относительно оси Ох, проходящей через

центр окружности.

2)   В силу этой же симметрии утверждение очевидно и при  или

3)   Для всех других значений угла используем утверждение (которое мы

примем без доказательства), что его радианную меру α можно записать

в виде  (радиан) удовлетворяет неравенству

и, учитывая, что на единичной окружности углам и

 соответствует одна и та же точка, сводим

этот случай к случаю 2.

Четность и нечетность тригонометрических функций можно применять

для вычисления значений тригонометрических функций отрицательных

углов (чисел).

Например, 

3. Периодичность тригонометрических функций. Множество процессов и яв-

лений, которые происходят в природе и технике, имеют повторяющийся

характер (например, движение Земли вокруг Солнца, движение маховика).

Для описания процессов такого рода используют так называемые периоди -

периодические функции.

Функция y = f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если для

любого x из области определения функции числа (x + T) и (x – T) также

f (x + T) = f (x).

 

Из приведенного определения получаем, что f (x – T) = f ((x – T) + T) =

= f (x), то есть, если T — период функции f (x), то и – T тоже период этой

функции. Также можно доказать, что ±2Т, ±3Т, ..., ±kТ — тоже периоды

этой функции (k ∈ N).

  Учитывая, что на единичной окружности числам (углам)  где

соответствует одна и та же точка (рис. 71), получаем:

Тогда   является периодом функций  и .

При k = 1 получаем, что — это период функций  и .

Докажем, что эти функции не могут иметь меньший положительный пе-

риод. Чтобы доказать, что  — наименьший положительный период

косинуса, допустим, что T > 0 — период функции . Тогда для лю -

бого значения x выполняется равенство  cos (x + T) = cos x.  Взяв x = 0,

получаем cos T = 1. Но это означает, что на единичной окружности при

повороте на угол T точка  снова попадает в точку , то есть ,

где k ∈ Z. Таким образом, любой период косинуса должен быть кратным

, а значит,

— наименьший положительный период косинуса.

  Чтобы обосновать, что  — наименьший положительный период

функции sin x, достаточно в равенстве sin (x + T) = sin x, которое выпол-

няется для любых значений x, взять . Получаем Но это

означает, что при повороте на угол  точка  попадает в точку A (0;1)

(рис. 71), то есть  таким образом . Следовательно,

любой период синуса должен быть кратным , а значитит,

— наименьший положительный период косинуса.

   Если учесть, что на единичной окружности точки   и   являются

диаметрально противоположными, то этим точкам соответствует одна и та же

точка на линии тангенсов (рис. 72) или на линии котангенсов (рис. 73). Тогда

 также 

То есть периодом функций tg x и ctg x является (k ≠ 0, k ∈ Z).

 

Наименьшим положительным периодом для функций tg x и ctg x явля-

ется 

Чтобы доказать это, достаточно в равенстве tg (x + T) = tg x взять x = 0. 

Тогда получим tg T = 0. Таким образом, T =, где k ∈ Z. Итак, любой

период тангенса должен быть кратным  а значит,  -  наименьший по-

ложительный период тангенса. Аналогично в соответствующем равенстве

для ctg x достаточно взять . 

 Чтобы иметь представление о поведении графика периодической функ -

ции y = f (x), напомним, что по определению график функции y = f (x)

состоит из всех точек M координатной плоскости, которые имеют ко - 

ординаты (x; y) = (x; f (x)). Первая координата для точек графика вы-

бирается произвольно из области определения функции. Выберем как

первую координату значение x + T (или в обобщенном виде — значение

x + kT при целом значении k) и учтем, что для периодической функции

f(x + T) = f(x – T) = f (x) (в общем случае f (x + kT) = f (x)). Тогда графи-

ку функции y = f (x) будет принадлежать также точка M1 координатной

плоскости с координатами: 

(x + T; y) = (x + T; f (x + T)) = (x + T; f (x)).

Точку M1 (x + T; f (x)) можно получить из точки M (x; f (x)) параллель -

ным переносом вдоль оси Ox на T единиц (рис. 74). В общем случае точку

M2 (x + kT; f (x)) можно получить из точки M (x; f (x)) параллельным пе -

реносом вдоль оси Ox на kT единиц. Таким образом, через промежуток T

вид графика периодической функции будет повторяться. Поэтому для

построения графика периодической функции с периодом T достаточно

построить график на любом промежутке длиной T(например, на проме-

жутке [0;T]), а потом полученную линию параллельно перенести вправо

и влево вдоль оси Ox на расстояние kT, где k — любое натуральное число. 

Примеры решения задач

 Задача 1    Пользуясь периодичностью, четностью и нечетностью триго-

нометрических функций, найдите:

 Задача 1     Докажите утверждение: если функция y = f (x) периодическая 

 с периодом T, то функция y = Af (kx + b) также периодическая

с периодом  (A, k, b — некоторые числа и k ≠ 0).

Используем утверждение, доказанное в задаче 2 для нахождения перио-

дов функций.

Например,

1) если функция sin x имеет период , то функция sin 4x имеет период

2)  если функция tg x имеет период ,то функция  имеет период

Вопросы для контроля

1. а) Назовите знаки тригонометрических функций в каждой из коорди -

    натных четвертей.

    б *) Обоснуйте знаки тригонометрических функций в каждой из коорди-

    натных четвертей. 

2. а) Какие из тригонометрических функций являются четными, а какие

    нечетными? Приведите примеры использования четности и нечетности

    для вычисления значений тригонометрических функций.

    б *) Обоснуйте четность или нечетность соответствующих тригонометри-

    ческих функций. 

3. а) Какая функция называется периодической? Приведите примеры.

    б *) Обоснуйте периодичность тригонометрических функций. Укажи-

    те наименьший положительный период для синуса, косинуса, тангенса 

          и котангенса и обоснуйте, что в каждом случае этот период действитель-

          но является наименьшим положительным периодом.

Упражнения 

1. Пользуясь периодичностью, четностью и нечетностью тригонометриче-

    ской функции, найдите:

    1)               2) sin (–750°);         3)          4)  ctg 945°;

    5)                6) cos (–3630°);       7)         8)  tg 600°.

2*. Среди данных функций найдите периодические и укажите наименьший

     положительный период для каждой из них:

    1) f(x)= x^2;   2) f(x)= sin 2x;   3) f(x)= | x |;   4) f(x)= tg 3x;   5)f(x) = 3. 

3. Найдите период каждой из данных функций:

    1) y= cos 2x;   2)y = tg 5x;   3)    4) y = ctg 3x;    5) 

4. На каждом из рисунков 75–78 приведена часть графика некоторой перио-

   дической функции с периодом T. Продолжите график на отрезке [–2T; 3T].