§ 13. Свойства тригонометрических функций
Объяснение и обоснование
1. Знаки тригонометрических функций легко определить, исходя из опреде -
ления этих функций.
Например, — это ордината соответствующей точки единичной
окружности. Поэтому значение будет положительным, если точка
имеет положительную ординату, a это будет тогда, когда точка находит-
ся в I или II четверти (рис. 67). . Если точка находится в III или IV чет -
верти, то ее ордината отрицательна, и поэтому тоже отрицателен.
Аналогично, учитывая, что — это абсцисса соответствующей точки ,
получаем, что >0 в I и IV четвертях (абсцисса точки положительна)
и <0 во II и III четвертях (абсцисса точки отрицательна) (рис. 68).
Поскольку там, где
и имеют одинаковые знаки, то есть в I и III четвертях,
и там, где и имеют разные знаки, то есть во II и IV чет -
вертях (рис. 69).
2. Четность и нечетность тригонометрических функций.
Чтобы исследовать тригонометрические функции на четность и нечет -
ность, заметим, что на единичной окружности точки и расположе-
ны симметрично относительно оси Ox (рис. 70). Следовательно, эти точки
имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты.
Тогда
Таким образом, — четная функция, а — нечетная.
Поэтому — нечетные функции.
Замечание. Приведенное исследование четности и нечетности функ -
ций и неявно опирается на утверждение, что точки и
будут расположены симметрично относительно оси Ох при любом значе -
нии Приведем план возможного обоснования этого утверждения.
1) Если или то утверждение очевидно в силу сим -
метрии единичной окружности относительно оси Ох, проходящей через
центр окружности.
2) В силу этой же симметрии утверждение очевидно и при или
3) Для всех других значений угла используем утверждение (которое мы
примем без доказательства), что его радианную меру α можно записать
в виде (радиан) удовлетворяет неравенству
и, учитывая, что на единичной окружности углам и
соответствует одна и та же точка, сводим
этот случай к случаю 2.
Четность и нечетность тригонометрических функций можно применять
для вычисления значений тригонометрических функций отрицательных
углов (чисел).
Например,
3. Периодичность тригонометрических функций. Множество процессов и яв-
лений, которые происходят в природе и технике, имеют повторяющийся
характер (например, движение Земли вокруг Солнца, движение маховика).
Для описания процессов такого рода используют так называемые периоди -
периодические функции.
Функция y = f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если для
любого x из области определения функции числа (x + T) и (x – T) также
f (x + T) = f (x).
Из приведенного определения получаем, что f (x – T) = f ((x – T) + T) =
= f (x), то есть, если T — период функции f (x), то и – T тоже период этой
функции. Также можно доказать, что ±2Т, ±3Т, ..., ±kТ — тоже периоды
этой функции (k ∈ N).
Учитывая, что на единичной окружности числам (углам) где
соответствует одна и та же точка (рис. 71), получаем:
Тогда является периодом функций и .
При k = 1 получаем, что — это период функций и .
Докажем, что эти функции не могут иметь меньший положительный пе-
риод. Чтобы доказать, что — наименьший положительный период
косинуса, допустим, что T > 0 — период функции . Тогда для лю -
бого значения x выполняется равенство cos (x + T) = cos x. Взяв x = 0,
получаем cos T = 1. Но это означает, что на единичной окружности при
повороте на угол T точка снова попадает в точку , то есть ,
где k ∈ Z. Таким образом, любой период косинуса должен быть кратным
, а значит,
— наименьший положительный период косинуса.
Чтобы обосновать, что — наименьший положительный период
функции sin x, достаточно в равенстве sin (x + T) = sin x, которое выпол-
няется для любых значений x, взять . Получаем Но это
означает, что при повороте на угол точка попадает в точку A (0;1)
(рис. 71), то есть таким образом . Следовательно,
любой период синуса должен быть кратным , а значитит,
— наименьший положительный период косинуса.
Если учесть, что на единичной окружности точки и являются
диаметрально противоположными, то этим точкам соответствует одна и та же
точка на линии тангенсов (рис. 72) или на линии котангенсов (рис. 73). Тогда
также
То есть периодом функций tg x и ctg x является (k ≠ 0, k ∈ Z).
Наименьшим положительным периодом для функций tg x и ctg x явля-
ется
Чтобы доказать это, достаточно в равенстве tg (x + T) = tg x взять x = 0.
Тогда получим tg T = 0. Таким образом, T =, где k ∈ Z. Итак, любой
период тангенса должен быть кратным а значит, - наименьший по-
ложительный период тангенса. Аналогично в соответствующем равенстве
для ctg x достаточно взять .
Чтобы иметь представление о поведении графика периодической функ -
ции y = f (x), напомним, что по определению график функции y = f (x)
состоит из всех точек M координатной плоскости, которые имеют ко -
ординаты (x; y) = (x; f (x)). Первая координата для точек графика вы-
бирается произвольно из области определения функции. Выберем как
первую координату значение x + T (или в обобщенном виде — значение
x + kT при целом значении k) и учтем, что для периодической функции
f(x + T) = f(x – T) = f (x) (в общем случае f (x + kT) = f (x)). Тогда графи-
ку функции y = f (x) будет принадлежать также точка M1 координатной
плоскости с координатами:
(x + T; y) = (x + T; f (x + T)) = (x + T; f (x)).
Точку M1 (x + T; f (x)) можно получить из точки M (x; f (x)) параллель -
ным переносом вдоль оси Ox на T единиц (рис. 74). В общем случае точку
M2 (x + kT; f (x)) можно получить из точки M (x; f (x)) параллельным пе -
реносом вдоль оси Ox на kT единиц. Таким образом, через промежуток T
вид графика периодической функции будет повторяться. Поэтому для
построения графика периодической функции с периодом T достаточно
построить график на любом промежутке длиной T(например, на проме-
жутке [0;T]), а потом полученную линию параллельно перенести вправо
и влево вдоль оси Ox на расстояние kT, где k — любое натуральное число.
Примеры решения задач
Задача 1 Пользуясь периодичностью, четностью и нечетностью триго-
нометрических функций, найдите:
Задача 1 Докажите утверждение: если функция y = f (x) периодическая
с периодом T, то функция y = Af (kx + b) также периодическая
с периодом (A, k, b — некоторые числа и k ≠ 0).
Используем утверждение, доказанное в задаче 2 для нахождения перио-
дов функций.
Например,
1) если функция sin x имеет период , то функция sin 4x имеет период
2) если функция tg x имеет период ,то функция имеет период
Вопросы для контроля
1. а) Назовите знаки тригонометрических функций в каждой из коорди -
натных четвертей.
б *) Обоснуйте знаки тригонометрических функций в каждой из коорди-
натных четвертей.
2. а) Какие из тригонометрических функций являются четными, а какие
нечетными? Приведите примеры использования четности и нечетности
для вычисления значений тригонометрических функций.
б *) Обоснуйте четность или нечетность соответствующих тригонометри-
ческих функций.
3. а) Какая функция называется периодической? Приведите примеры.
б *) Обоснуйте периодичность тригонометрических функций. Укажи-
те наименьший положительный период для синуса, косинуса, тангенса
и котангенса и обоснуйте, что в каждом случае этот период действитель-
но является наименьшим положительным периодом.
Упражнения
1. Пользуясь периодичностью, четностью и нечетностью тригонометриче-
ской функции, найдите:
1) 2) sin (–750°); 3) 4) ctg 945°;
5) 6) cos (–3630°); 7) 8) tg 600°.
2*. Среди данных функций найдите периодические и укажите наименьший
положительный период для каждой из них:
1) f(x)= x^2; 2) f(x)= sin 2x; 3) f(x)= | x |; 4) f(x)= tg 3x; 5)f(x) = 3.
3. Найдите период каждой из данных функций:
1) y= cos 2x; 2)y = tg 5x; 3) 4) y = ctg 3x; 5)
4. На каждом из рисунков 75–78 приведена часть графика некоторой перио-
дической функции с периодом T. Продолжите график на отрезке [–2T; 3T].