Содержание.

1. Неопределенный интеграл. Основные определения.
2. Основные свойства неопределенного интеграла.
3. Таблица интегралов.
4. Непосредственное интегрирование.
5. Метод подстановки.
6. Метод интегрирования по частям.

Определение 1. Пусть функция f (x) определена на некотором интервале (a, b) и для всех x ∈ (a, b) существует такая функция F(x), что F'(x) = f (x). Тогда F(x) называется первообразной для f (x) на (a, b) .

Например, одной из первообразных функций для функции cos x будет sin x .

Первообразная не единственна, т. к. (cosx + 2)' =(cosx)' + 2'=sin x , (cosx - 3)' = sin x , а поэтому cos x + 2, cos x - 3 также являются первообразными для sin x .

Теорема. Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на

интервале (a, b) , отличаются друг от друга в этом промежутке на постоянное слагаемое, т.е. если F1 (x) и F2 (x) – некоторые первообразные, т. е. F1’ (x)= f (x) и F2’ (x) = f (x) то F1 (x) – F2 (x) = C .

Следствие. Прибавляя к какой-либо первообразной F(x) для данной функции f (x), определенной на промежутке (a, b) , всевозможные постоянные C , мы получим все первообразные для функции f (x) .

Определение 2. Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом ∫ f (x)dx .

При этом f (x) называется подынтегральной функцией, f (x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования.

Согласно определению неопределенного интеграла можно написать:

∫ f (x)dx = F(x)+ C , где F¢(x)= f (x), постоянная C может принимать любое значение и называется произвольной постоянной.

 

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции (1,2).

Замечание. В формулах (1) и (2) знаки и уничтожают друга. В этом смысле интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными математическими операциями.

Свойства линейности неопределенного интеграла.

т. е. любая формула интегрирования не изменяет свой вид, если вместо независимой переменной подставить любую дифференцируемую функцию . Поэтому таблицу интегралов от сложной функции запишем в виде:

Таблица интегралов

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование заключается в том, чтобы преобразовать подынтегральное выражение, если это возможно, так чтобы получился дифференциал f (x)dx, а затем в таблице
интегралов найти первообразную.

Пример 1.

Выражение cos xdx заменили на d (sin x) . Получили интеграл

который можно отыскать в таблице интегралов, где u(x) = sin x.

Пример 2. 

Здесь мы умножили подынтегральную функцию и разделили на 2, затем внесли 2 под знак дифференциала. Заменим 2dx  =d (2x +1) и получим табличный интеграл

Проверим результат дифференцированием:

Пример 3.

В данном примере мы применили прием подведения под знак дифференциала cosx и постоянной 1. cos xdx = d(1+ sin x).

Пример 4.

Метод подстановки

Пример 6.

Здесь удобно применить тригонометрическую подстановку x = sint , с помощью которой мы избавимся от корня. Отсюда dx = costdt . 

Метод интегрирования по частям.

Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции от x . На основании формулы дифференциала произведения имеем d(uv)= udv + vdu.

Иногда формула интегрирования по частям применяется несколько раз. Рассмотрим пример такого интеграла.

Замечание. Иногда применение формулы интегрирования по частям приводит к исходному интегралу, который в таком случае называется циклическим или круговым.

Получили интеграл, в котором cosnx заменился на sin nx .
Проинтегрируем еще раз по частям, обозначим:

Это пример циклического интеграла.