Свойства числовых неравенств
- Свойство 1. Если a > b и b > c, то a > c (Пример: 8 > 4 и 4 > 3 => 8 > 3)
- Свойство 2. Если a > b, то a + const > b + const. Const-произвольное число (Пример: x - 3 > 0 <=> x - 3 + 8 > 0 + 8)
- Свойство 3. Если a > b и m > 0, то am > bm;
Если a > b и m < 0, то am < bm. m-произвольное число.
Смысл свойства 3 заключается в следующем:
- если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число,то знак неравенства следует сохранить;
- если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить(знак “<” на “>”, знак “>” на “<”);(для нестрогих неравенств)
Из свойства 3, в частности, следует, что, умножив обе части неравенства a > b на -1, получим: -a < -b.
- Свойство 4. Если a > b и c > d, то a + c > b + d (Пример: 8 > 4 и 3 > 2 => 8 + 3 > 4 + 2)
- Свойство 5. Если a,b,c,d –положительные числа и a > b, c > d то ac > bd (Пример: 8 > 4 и 3 > 2 => 8 * 3 > 4 * 2)
Линейные неравенства
Определение. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.
Рассмотрим, например, неравенство 2х + 5 < 7.
Решение:
Нас интересуют такие числа х, при которых 2х + 5 < 7— верное числовое неравенство.
Давайте упростим наше неравенство.
1) Согласно свойству 2 к обеим частям неравенства прибавили одно и то же число “-5”, получили:
2х + 5 - 5 < 7 - 5.
2х < 2
Получили более простое неравенство.
2) На основании свойства 3 можно разделить обе его части на положительное число 2, полученное неравенство:
х < 1
Что это значит? Это значит, что решением неравенства является любое число х, которое меньше 1. Таким образом, множеством решений данного неравенства является множество чисел x < 1 (или иначе в виде числовой прямой (-∞;1])
Свойства позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами:
- Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.
- Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.
- Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.
Применим эти правила для решения линейных неравенств, т.е. неравенств, сводящихся к виду
ах + b > 0
где а и b — любые числа, за одним исключением: а ≠ 0.
Если а = 0, то рассматриваем 2 случая:
1) Если b > 0, то x может быть любое число
2) Если b < 0, то решения нет
Пример 1:
Решить неравенство
Зх - 5 ≥ 7х - 15.
Решение.
Руководствуемся правилом 1 перенесем член 7х в левую часть неравенства, а член -5 — в правую часть неравенства, не забыв при этом изменить знаки и у члена 7х, и у члена -5. Тогда получим:
Зх - 7х ≥ -15 + 5
-4х ≥ -10
Согласно правилу 3 разделим обе части последнего неравенства на одно и то же отрицательное число -4, не забыв при этом сменить знак неравенства. Получим:
х ≤ 2,5.
Это и есть решение заданного неравенства.
Как мы условились, для записи решения можно использовать обозначение соответствующего промежутка числовой прямой: (-∞; 2,5].
Ответ: (- ∞; 2,5].
Пример 2:
Решить неравенство
3x + 2 > 2(x + 3) + x
Решение.
Раскроем скобки во второй части неравенства:
3x + 2 > 2x + 6 + x
Руководствуясь правилом 1, перенесем члены "с иксом" в левую часть неравенства, а "без икса" в правую:
3x - 2x - x > 6 - 2
0x > 4
0 > 4
Получаем противоречие.
Решения нет.
Пример 4:
Решить неравенство
2(x - 1) + 3 > 2x - 5
Решение.
Раскроем скобки во второй части неравенства:
2x - 2 + 3 > 2x - 5
Руководствуясь правилом 1, перенесем члены "с иксом" в левую часть неравенства, а "без икса" в правую:
2x - 2x > 2 - 5 - 3
0x > -6
0 > -6
Получаем верное неравенство.
В данном случае можно взять любое число x, так как от него не зависит решение.
Ответом является вся числовая прямая.
В заключение заметим, что, используя свойства числовых неравенств и правила, мы в этом параграфе учились решать не любое неравенство с переменной, а только такое, которое после ряда простейших преобразований (типа тех, что были выполнены в примерах из этого параграфа) принимает вид ax > b, такие неравенства называются линейными. Далее мы изучим методы для решения более сложных неравенств.