Первообразная
Определение. Непрерывная функция F(x) называется первообразной функции f(x), если на промежутке X, если для каждого .
Операция нахождения первообразной функции f(x), называется интегрированием.
Неопределенный интеграл
Неопределённый интеграл-это совокупность всех первообразных функции f(x). В общем случае, нахождение неопределённого интеграла выглядит следующим образом:
,
где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал, C-константа интегрирования. Неопределённый интеграл представляет собой, как бы, «пучок» первообразных, из-за наличия постоянной интегрирования.
Дифференциал-произвольное, бесконечно малое приращение переменной величины.
Свойства неопределённого интеграла
Таблица основных неопределённых интегралов
В виде
,
где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал, C-константа интегрирования.
Определённый интеграл
Определенный интеграл- Приращение одной из первообразных функции f(x) на отрезке [a;b].
Общий вид определённого интеграла:
где f(x)–подынтегральная функция, a и b-пределы интегрирования, dx-дифференциал
Свойства определённого интеграла: см. св-ва определённого интеграла.
Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона –Лейбница:
Применение определённого интеграла:
1. Нахождение площади криволинейной трапеции
2. Нахождение величины скорости v по заданному закону ускорения a(t) за промежуток времени [t1;t2], т.е
Пример: Точка движется по закону ускорения a(t)=t+1. Найти величину ее скорости за промежуток времени [2;4] секунд.
Решение:
3. Нахождение пути S по закону изменения скорости v(t) за промежуток времени [t1;t2], т.е.
Пример: Найти путь, который проделала материальная точка за промежуток времени [2;4], двигаясь со скоростью, которая изменялась по закону: v(t)=2t+2.
Решение:
Стоит отметить, что, на сегодняшний день, интегральное и дифференциальное исчисление занимают лидирующие позиции в математике. Советую вам ознакомиться, более подробно, с широким применением интегралов в естествознании.